返回考证笔记

基金

投资组合前沿：两个资产如何搭配才能降风险、提收益

20 分钟阅读

当两个资产组合时，投资组合前沿曲线表明我们可以实现比任一单独资产更低的风险——这是静态比率比较无法揭示的。

投资组合前沿：两个资产如何搭配才能降风险、提收益

投资组合前沿：两个资产如何搭配才能降风险、提收益

🔗 与上一篇帖子的关系

在上一篇关于风险调整收益指标的帖子中，我们用夏普比率等指标来比较两个资产孰好孰坏。那种比较是静态的——它告诉你单个资产哪个"更好"。但它回答不了：我们能不能把它们组合起来，得到比单独持有任何一个都更好的结果？ 这正是投资组合前沿要探讨的问题。

1. 设定：两个资产 A 和 B

我们定义两个资产，参数如下。接下来的所有说明和举例都将使用这些参数：

参数 资产 A 资产 B
期望收益率 E(R) 10% 18%
标准差 σ 15% 25%
收益/风险比（类夏普） 0.667 0.720

相关系数：ρAB = 0.3（后面交互图中可以调整这个值）

2. 静态比较：谁更好？

在深入组合理论之前，先把 A 和 B 画在风险-收益图上。我们可以分别计算收益/σ：

资产 A：10% / 15% = 0.667
资产 B：18% / 25% = 0.720

从静态指标看，B 更好——单位风险获得的收益更高。如果只能选一个，我们选 B。

σ（风险） E(R) 收益率 10% 15% 20% 25% 10% 14% 18% A (15%, 10%) B (25%, 18%)

静态比较告诉我们 B 更好。但如果我们不必只选一个呢？如果我们组合它们呢？

3. 核心问题：组合能否做得更好？

投资组合前沿要回答的核心问题是：是否存在 A 和 B 的某种搭配，使得风险比单独持有任何一个都低，同时收益率还能保持合理水平？

当我们把资金的比例 wA 投入 A，wB = 1 − wA 投入 B 时，组合的期望收益和风险为：

组合收益率：
E(Rp) = wA × E(RA) + wB × E(RB)
组合风险：
σp = √( wA2 × σA2 + wB2 × σB2 + 2 × wA × wB × ρAB × σA × σB )

魔法在相关系数项（ρAB）中。当 ρ < 1 时，两个资产不会完全同步波动，因此风险会部分抵消。这就是分散化的数学基础。

4. 计算前沿曲线：组合搭配数据表

使用 ρ = 0.3 和我们的参数，计算不同权重配比下的 E(Rp) 和 σp（仅考虑正权重）：

wA wB E(Rp) σp E(Rp)/σp 备注
1.0 0.0 10.0% 15.00% 0.667 仅持有 A
0.9 0.1 10.8% 14.45% 0.747
0.8 0.2 11.6% 14.32% 0.810 ⬅ 最小方差组合
0.7 0.3 12.4% 14.62% 0.848
0.6 0.4 13.2% 15.33% 0.861
0.5 0.5 14.0% 16.40% 0.854
0.4 0.6 14.8% 17.75% 0.834
0.3 0.7 15.6% 19.33% 0.807
0.2 0.8 16.4% 21.10% 0.777
0.1 0.9 17.2% 22.99% 0.748
0.0 1.0 18.0% 25.00% 0.720 仅持有 B

✅ 核心发现

在 wA = 0.8, wB = 0.2 时，组合的风险 σ = 14.32%——比资产 A（15%）和资产 B（25%）都低！同时收益率为 11.6%（高于 A 的 10%）。分散化确实有效！我们实现了一个比任何单一资产风险都低、且收益高于 A 的组合。

5. 前沿曲线图（ρ = 0.3）

将所有组合方案绘制出来，就得到了投资组合前沿曲线：

σ（风险 / 标准差） E(R) 期望收益率 0% 5% 10% 15% 20% 25% 0% 5% 10% 15% 20% A (15%, 10%) B (25%, 18%) MVP (14.32%, 11.6%) 可行区域 （所有可能的 投资组合） 前沿曲线（ρ=0.3）

6. 交互式图表：调整 ρ 观察前沿曲线变化

拖动下方滑块来改变资产 A 和 B 之间的相关系数 ρ，观察前沿曲线如何实时变化：

试试设置 ρ = 1.0（完全正相关）：曲线变成一条直线。设置 ρ = −1.0：曲线可以触及 y 轴，意味着零风险是可以实现的！

7. 理解前沿：曲线 ≠ 唯一可能

💡 重要概念

前沿曲线代表在给定 ρ 下的最优风险-收益组合。但曲线右侧的区域也是可以实现的——只是那些是"更差"的组合（同样的收益、更高的风险；或者同样的风险、更低的收益）。

可以这样理解：曲线是效率边界。曲线上任何一个组合都优于曲线右侧（内部）的任何组合。理性的投资者只会选择曲线上的投资组合——具体来说是从 MVP 到资产 B 的上半部分。

总结三个区域：

  • 曲线上方（MVP → B）：有效组合——最优的风险-收益权衡。这就是有效前沿（Efficient Frontier）。
  • 曲线下方（A → MVP）：被支配——与上方某个组合风险相同，但收益更低。
  • 曲线右侧：可以实现但不是最优——这些组合在同样的收益水平下承担了不必要的额外风险。

总结

对比维度 静态比率（类夏普） 投资组合前沿
问题 哪个单独的资产更好？ 组合资产能否改善风险收益权衡？
方法 分别计算 E(R)/σ 进行比较 改变权重，计算所有组合的 E(R) 和 σ
结论 B 更好（0.720 > 0.667） 组合可以超越两者！（最小 σ = 14.32% < 15%）
核心洞见 一维排序 分散化收益来自 ρ < 1